形式科学 - 计算机科学 - 计算数学 - 数值分析课程大纲

课程简介

目标受众： 对计算机科学感兴趣，特别是数值计算领域的学生和专业人士

课程时长： 15周

课程目标： - 理解数值分析的基本原理和方法 - 掌握数值算法的实现和优化 - 应用数值分析解决实际问题的能力

第1周：课程介绍与预备知识

• 主题： 数值分析概述
• 学习目标： 了解数值分析的历史、重要性和应用领域
• 资源： 数值分析简介
• 活动： 课堂讨论及自我学习预备材料

第2-3周：基础数学工具

• 主题： 线性代数回顾
• 学习目标： 熟悉矩阵运算和向量空间
• 资源： Strang的《线性代数及其应用》
• 活动： 小组练习和矩阵求逆项目

第4-5周：函数逼近与插值

• 主题： 插值法（线性、多项式）
• 学习目标： 实现插值函数并理解误差分析
• 资源： Quarteroni, Sacco, Saleri《数值分析》
• 活动： 编写插值程序并进行案例研究

第6-7周：数值微分与积分

• 主题： 邻域差商与辛普森法则
• 学习目标： 计算导数和积分的数值近似
• 资源： Numerical Recipes in C
• 活动： 实践数值微分和积分项目

第8-9周：数值线性方程组

• 主题： 消元法与迭代方法
• 学习目标： 解决大规模线性系统
• 资源： Golub & Van Loan《矩阵计算》
• 活动： 比较不同解线性方程组的方法

第10-11周：数值常微分方程

• 主题： Euler方法与Runge-Kutta方法
• 学习目标： 处理时间依赖问题
• 资源： Hairer, Norsett, Wanner《Solving Ordinary Differential Equations》
• 活动： 实战项目：模拟物理过程

第12-13周：数值优化与拟牛顿法

• 主题： 最优化理论与梯度下降
• 学习目标： 寻找函数极值
• 资源： Nocedal & Wright《数值优化》
• 活动： 优化问题案例研究

第14周：高级话题与扩展

• 主题： 高精度算法、并行计算与稳定性
• 学习目标： 深入探讨前沿技术
• 资源： Higham《数值计算稳定性与条件》
• 活动： 小型研究项目

第15周：课程总结与项目展示

• 主题： 课程回顾与应用实践
• 学习目标： 展示所学并反思
• 评估： 期末项目报告与课堂讨论

评估方法： - 作业： 每周课后习题，占30% - 小测验： 每两周一次，占20% - 项目： 分阶段完成的大型项目，占30% - 课堂参与： 讨论与实践活动，占10%

通过本课程，学生将逐步掌握数值分析的核心概念，并能在实践中灵活运用。