形式科学：数学 - 离散数学 - 计数理论课程大纲

课程概述

目标受众: 大学本科数学或计算机科学专业的学生，对理论数学有兴趣的其他专业学生

课程长度: 15周

时间分配: 每周3小时，包括讲座、讨论和实践环节

教学方法: 讲座、小组讨论、编程练习、案例研究

评估方式: 作业、小测验、项目报告和期末考试

第1-2周：计数原理与基本概念

1. 主题: 计数基础
   • 学习目标: 掌握基本的计数原理（乘法原理、加法原理）
   • 资源: 《组合数学》(Andrews) 第1章
   • 教学方法: 讲座、小组讨论
2. 主题: 集合论基础
   • 学习目标: 理解集合的概念、元素、关系与函数
   • 资源: 《离散数学及其应用》(Kleppner & Naiman)

第3-4周：排列与组合

1. 主题: 排列与组合的基本公式
   • 学习目标: 应用排列与组合计算实际问题
   • 资源: 《组合数学教程》(Stanley)
   • 实践活动: 编程练习解决排列组合问题
2. 主题: 排列与组合的递推关系
   • 学习目标: 理解递归关系在计数中的应用
   • 资源: 《组合数学》(Andrews) 第2章

第5-6周：递归与动态规划

1. 主题: 递归定义与递归算法
   • 学习目标: 学习基本的递归思想和动态规划技巧
   • 资源: 《算法图灵读》(Cormen et al.) 第4章
   • 实践活动: 编写递归函数解决问题
2. 主题: 分治策略
   • 学习目标: 理解分治策略在计数问题中的应用
   • 资源: 《算法设计与分析》(Dasgupta et al.)

第7-8周：图论基础

1. 主题: 图的概念与术语
   • 学习目标: 熟悉图的构造、度数、路径和连通性
   • 资源: 《图论》(Bondy & Murty)
   • 小组讨论: 解决图论相关问题
2. 主题: 哈密尔顿回路与欧拉路径
   • 学习目标: 探索图论中的经典问题
   • 实践活动: 寻找特定图的哈密尔顿回路和欧拉路径

第9-10周：组合优化

1. 主题: 最优化问题与贪心算法
   • 学习目标: 理解基本的最优化策略
   • 资源: 《算法竞赛入门经典》(刘汝佳)
   • 实践活动: 编写简单的贪心算法
2. 主题: 动态规划在组合优化中的应用
   • 学习目标: 掌握动态规划在求解优化问题中的应用
   • 资源: 《动态规划》(Bellman)

第11-12周：概率初步

1. 主题: 基本概率概念
   • 学习目标: 理解概率空间、事件和概率的计算
   • 资源: 《概率论与数理统计》(Ross)
   • 小组讨论: 解析随机事件的概率
2. 主题: 统计独立性与条件概率
   • 学习目标: 应用独立性和条件概率解决实际问题
   • 实践活动: 编写模拟实验

第13-14周：概率在计数中的应用

1. 主题: 条件期望与线性组合
   • 学习目标: 理解概率在计数中的高级应用
   • 资源: 《概率论导引》(Feller)
   • 实践活动: 利用概率解决复杂计数问题
2. 主题: 贝叶斯定理与概率推理
   • 学习目标: 掌握贝叶斯定理并进行概率推理
   • 实践活动: 用贝叶斯定理解决实际问题

第15周：期末复习与项目

1. 主题: 期末复习与回顾
   • 学习目标: 回顾所有主要概念与技能
   • 资源: 自我测试题集
2. 主题: 项目：计数理论应用项目
   • 学习目标: 将所学知识应用于实际问题或研究项目
   • 评估: 项目报告及小组展示

评估: 40% 作业，30% 小测验，20% 项目，10% 期末考试

通过这个课程，学生将建立坚实的离散数学基础，为后续的理论课程如图论、编码理论等打下坚实基础。