离散数学：数论 - 课程大纲

课程概述

本课程旨在通过探索离散数学中的数论基础，培养学生的逻辑思维、问题解决能力和对数学理论的深入理解。我们将逐步构建关键概念，结合讲座、讨论和实践活动，以适应不同学习风格。

课程目标

1. 理解基本数论概念，如整数性质、素数分解、同余关系和欧几里得算法。
2. 掌握黎曼猜想、费马大定理等经典数论问题的基础。
3. 培养分析和证明技巧，能独立进行数论问题的推理和证明。
4. 通过小组讨论和项目，提升团队合作和解决问题的能力。

课程结构

周1-2: 整数与基本性质

• 主题: 整数的定义与性质
• 学习目标: 理解整数的基本概念，掌握加法、乘法和除法运算的性质
• 阅读/资源: 彼得·哈米尔顿《现代数论入门》
• 教学方法: 讲座 + 小组讨论

周3-4: 素数与素数分解

• 主题: 素数、合数和素数分解定理
• 学习目标: 掌握素数检测方法，理解完全平方数和完全立方数
• 阅读/资源: 《离散数学及其应用》(Daniel J. Velleman)
• 教学方法: 讲座 + 实践活动 (分解较大的数)

周5-6: 同余关系与中国剩余定理

• 主题: 同余关系与同余方程组
• 学习目标: 理解同余的性质，中国剩余定理的应用
• 阅读/资源: 《数论导引》(David M. Burton)
• 教学方法: 讲座 + 讨论小组项目

周7-8: 欧几里得算法与最大公约数

• 主题: 欧几里得算法与欧几里得函数
• 学习目标: 掌握欧几里得算法，理解辗转相除法
• 阅读/资源: 《算法图灵读》(Clifford A. Pickover)
• 教学方法: 讲座 + 实战编程练习

周9-10: 费马大定理与扩展

• 主题: 费马大定理简介及一些相关理论
• 学习目标: 了解费马大定理的历史和重要性，初步接触模形式
• 阅读/资源: 《费马大定理》(Simon Singh)
• 教学方法: 讲座 + 专题讲座（邀请数学专家）

周11-12: 小结与项目

• 主题: 课程回顾与综合项目
• 学习目标: 应用所学知识解决实际问题，撰写项目报告
• 教学方法: 小组项目展示，个人报告
• 评估: 项目报告、小组讨论参与度和期末测试

评估方法： - 作业（每周）: 定期练习题，检查基础知识掌握情况 - 小测验（每两周）: 及时反馈课堂理解程度 - 项目（最后两周）: 实际应用项目，评估创新思维和团队协作 - 期末测试（课程结束）: 总结性考试，全面考察整个学期的学习成果

课程要求： - 阅读指定教材 - 参与课堂讨论和实践活动 - 完成并提交所有作业和项目

本大纲根据目标受众（高中或大学低年级学生）的兴趣和需求进行了调整，旨在提供一个既严谨又富有启发性的学习体验。