计算代数课程大纲

课程概述

学期： 15周 目标受众： 大学本科数学专业的学生，对计算机科学有兴趣者 课程目标： 掌握基础计算代数概念，理解其在算法设计和数据分析中的应用

第一周：课程介绍与预备知识

• 主题： 计算代数简介
• 学习目标：
  • 熟悉计算代数的基本概念和历史背景
  • 了解课程结构和预期目标
• 资源：
  • 文献：《计算代数导论》
  • 活动：自我评估问卷

第二周至第四周：代数基础

• 主题： 现代群与环理论
• 学习目标：
  • 理解群、环的概念及其基本性质
• 教学方法：
  • 讲座：定义与例子
  • 小组讨论：群环的实例应用
• 资源：
  • 《抽象代数》（Herstein）
  • 练习题集

第五周至第七周：多项式与理想

• 主题： 多项式环和理想理论
• 学习目标：
  • 掌握多项式环的运算和理想的概念
• 教学方法：
  • 讲座：多项式环的构造
  • 实践活动：编程实现多项式操作
• 资源：
  • MATLAB/Python编程指南

第八周至第十周：线性代数基础

• 主题： 线性方程组与矩阵
• 学习目标：
  • 理解矩阵运算及其在计算代数中的角色
• 教学方法：
  • 讲座：矩阵理论
  • 分组讨论：解线性系统
• 资源：
  • Strang《线性代数及其应用》

第十一周至第十三周：高级主题

• 主题： 伽罗瓦理论与域扩展
• 学习目标：
  • 探索伽罗瓦理论在代数问题中的应用
• 教学方法：
  • 讲座：伽罗瓦理论简介
  • 小组研究：特定域扩展案例分析
• 资源：
  • Dummit & Foote《抽象代数》

第十四周：课程总结与复习

• 主题： 课程回顾与项目准备
• 学习目标：
  • 回顾本学期的关键概念
  • 为项目工作做准备
• 教学方法：
  • 自我评估测试
  • 小组讨论：项目计划

第十五周：期末项目与展示

• 主题： 应用计算代数解决实际问题
• 学习目标：
  • 实践应用所学知识
• 评估：
  • 项目报告
  • 小组演示与答辩

通过这个大纲，学生将逐步掌握计算代数的核心概念，并在实践中深化理解。每个阶段都结合了不同教学方法，以确保全方位的学习体验。