课程大纲：数值分析

课程简介

• 主题：形式科学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析
• 目标受众：数学、工程或物理专业的学生，对理论计算感兴趣的中级或高级学生
• 学期长度：15周
• 教学方法：讲座、小组讨论、编程实践、案例研究

第1周：数值分析入门

• 主题：数值分析概论与历史
• 学习目标：
  • 理解数值分析的基本概念和应用领域
  • 介绍常见数值方法的历史背景
• 资源：《数值分析》(Burden & Faires) 第一章
• 活动：讲座 + 小组讨论

第2-4周：线性代数回顾

• 主题：矩阵运算与线性系统求解
• 学习目标：
  • 重新审视线性代数基础，如矩阵运算、特征值和奇异值分解
• 资源：《线性代数及其应用》(Strang)
• 活动：讲座 + 编程练习（解线性方程组）

第5-7周：插值与逼近

• 主题：拉格朗日插值、多项式拟合
• 学习目标：
  • 掌握插值方法及误差分析
• 资源：《数值分析》(Burden & Faires) 第二章
• 活动：讲座 + 实践项目（设计并实现插值算法）

第8-10周：数值微分与积分

• 主题：有限差分与数值积分
• 学习目标：
  • 学习如何用数值方法近似导数和积分
• 资源：《数值分析》(Burden & Faires) 第三章
• 活动：讲座 + 组内项目（数值微分与积分应用）

第11-13周：数值优化

• 主题：梯度下降法、牛顿法
• 学习目标：
  • 理解最优化问题的数值求解策略
• 资源：《数值方法》(Nocedal & Wright)
• 活动：讲座 + 分组讨论（解决优化问题实例）

第14周：数值线性方程组与特征值问题

• 主题：高斯消元、QR分解、谱方法
• 学习目标：
  • 掌握高级线性代数在数值分析中的应用
• 资源：《数值线性代数》(Golub & Van Loan)
• 活动：讲座 + 项目（求解大规模线性方程组）

第15周：总结与展望

• 主题：数值分析的未来趋势与挑战
• 学习目标：
  • 总结课程内容，探讨数值分析的发展方向
• 资源：相关论文或研究报告
• 活动：研讨会 + 期末项目报告

评估方法

• 作业：每周小测验和课堂练习
• 项目：分阶段完成的编程项目
• 考试：期中和期末考试，涵盖课程核心概念
• 报告：项目报告和期末论文，展示所学知识的应用

通过本课程，学生将能够理解和应用数值分析的基本工具和技术，以解决实际问题。