形式科学：数学 - 代数学 - 表示论课程大纲

第1周：课程介绍与预备知识

• 主题：代数学基础与表示论概览
• 学习目标：
  • 理解代数基本概念（群、环、域）
  • 介绍表示论的基本思想
• 阅读资源：
  • 《抽象代数》(Artin) 第1章
  • [在线资源]：维基百科 - 代数基础
• 教学方法：讲座 + 自学指导
• 评估：预习测验

第2-3周：群论与表示

• 主题：群的定义与性质
• 学习目标：
  • 掌握群的概念及其运算
  • 学习线性表示
• 阅读资源：
  • 《代数学》(Lang) 第2章
  • [在线资源]：Group Theory by Jim Hefferon
• 教学方法：讲座 + 小组讨论
• 评估：群的表示作业

第4-5周：环与模块理论

• 主题：环的基本概念与模块
• 学习目标：
  • 理解环和模块的定义及它们的关系
  • 学习自由模块和商模块
• 阅读资源：
  • 《代数》(Atiyah & Macdonald)
  • [在线资源]：MIT OpenCourseWare - 模块理论
• 教学方法：讲座 + 实践活动（构造简单模块）
• 评估：模块理论小测验

第6-7周：域与伽罗瓦理论

• 主题：域理论与伽罗瓦理论简介
• 学习目标：
  • 理解域的特性及伽罗瓦扩展
  • 掌握伽罗瓦理论基础
• 阅读资源：
  • 《伽罗瓦理论入门》(Dummit & Foote)
  • [在线资源]：Wikipedia - 伽罗瓦理论
• 教学方法：讲座 + 讨论案例分析
• 评估：伽罗瓦理论项目报告

第8周：高级表示论概念

• 主题：李代数、张量积与表示
• 学习目标：
  • 了解李代数和李群
  • 学习张量积在表示论中的应用
• 阅读资源：
  • 《李群与表示论》(Fulton & Harris)
  • [在线资源]：Representation Theory by James E. Humphreys
• 教学方法：讲座 + 实例解析
• 评估：张量积与李代数作业

第9周：总结与复习

• 主题：回顾与未来方向
• 学习目标：
  • 总结本课程主要内容
  • 展望相关领域研究
• 教学方法：小组讨论与自我展示
• 评估：期末回顾报告

评估方法： - 作业：每周课堂练习题，占30% - 小测验：每两周一次，占20% - 项目/报告：3个大项目，每个占20%，包括理论分析和实践应用 - 期末考试：占10%，综合考察全课程内容

这个大纲旨在提供一个循序渐进的学习路径，同时注重理论与实践的结合，以帮助学生深入理解和掌握表示论的核心概念。