形式科学：数学 - 代数学 - 模理论课程大纲

第一单元：代数基础（Week 1-2）

学习目标：

1. 理解基本代数概念：变量、常数、表达式和方程。
2. 掌握群、环和域的基本定义与性质。

讲座：

1. 周1：代数基本概念
2. 周2：群、环和域的初步介绍

资源：

• 文献：《抽象代数学》(Artin)
• 实践活动：创建简单的代数方程并解决

作业：

1. 完成基础代数练习题集

小测验：

1. 周2：基础知识测试

第二单元：模论预备知识（Week 3-4）

学习目标：

1. 了解整数模的概念。
2. 理解同余关系及其在模论中的应用。

讲座：

1. 周3：整数模的定义
2. 周4：同余关系与欧几里得算法

资源：

• 文献：《模形式导论》(Diamond & Shurman)
• 视频：YouTube上的模理论入门教程

实践活动：

1. 小组项目：设计并解决简单的同余问题

作业：

2. 完成模论相关习题

小测验：

2. 周4：模论初步概念测试

第三单元：模的性质与表示（Week 5-6）

学习目标：

1. 掌握模的理想、商环和余类环的概念。
2. 理解模的同态和忠实性。

讲座：

1. 周5：理想、商环和余类环
2. 周6：模的同态与忠实性

资源：

• 文献：《模理论入门指南》(Lang)
• 讨论：模理论在密码学中的应用

实践活动：

3. 个人项目：研究一个具体的模理论实例

作业：

3. 撰写关于模理论应用的研究报告

小测验：

3. 周6：模块理论进阶概念测试

第四单元：高级模论（Week 7-8）

学习目标：

1. 学习素理想和中国剩余定理。
2. 探索模的分类和同构。

讲座：

1. 周7：素理想和中国剩余定理
2. 周8：模的分类与同构理论

资源：

• 文献：《模理论手册》(Atiyah & MacDonald)
• 互动：模理论在线研讨会

实践活动：

4. 团队项目：实施中国剩余定理的实际应用

作业：

4. 深入研究一个特定的模理论专题

小测验：

4. 周8：高级模理论综合测试

期末项目：

5. 最终项目：撰写一篇关于模理论的综述论文或研究报告

通过这个课程，学生将系统地掌握模理论的基础知识，并能在实践中应用所学。评估将通过作业、小测验和项目进行，以确保深入理解和应用能力。