形式科学：数学 - 代数学 - 群论课程大纲

第1周：群论基础

• 主题：群的定义与基本概念
• 学习目标：
  1. 理解群的定义（封闭性、单位元、逆元）
  2. 阅读：《抽象代数》第一章，引入群的概念
• 教学活动：
  • 讲座：群的定义及其重要性
  • 小组讨论：实例分析
  • 课堂练习：识别给定集合是否构成群

第2周：群运算与性质

• 主题：群运算的性质与同构
• 学习目标：
  1. 掌握群运算的性质
  2. 理解同构的概念
• 教学活动：
  • 讲座：群运算的性质与证明
  • 实践活动：构造简单的群并探索其性质
  • 小测验：测试群运算的理解

第3周：循环群与交换群

• 主题：循环群与交换群
• 学习目标：
  1. 理解循环群和交换群
  2. 举例和应用
• 教学活动：
  • 讲座：循环群与交换群的特性
  • 讨论：如何在实际问题中识别这些群
  • 课堂作业：分析给定群是否为循环群或交换群

第4周：子群与正规子群

• 主题：子群与正规子群
• 学习目标：
  1. 子群的定义及性质
  2. 正规子群的定义及其相关定理
• 教学活动：
  • 讲座：子群与正规子群的定义
  • 案例研究：寻找子群和正规子群的例子
  • 实践任务：验证子群是否为正规子群

第5周：拉格朗日定理与Sylow定理

• 主题：拉格朗日定理与Sylow定理
• 学习目标：
  1. 拉格朗日定理的应用
  2. Sylow定理的理解
• 教学活动：
  • 讲解：拉格朗日定理和Sylow定理的证明
  • 分组讨论：使用定理解决实际问题
  • 小组报告：展示定理的应用

第6周：群的表示理论初步

• 主题：群的表示理论入门
• 学习目标：
  1. 理解群的线性表示
  2. 基本的表示理论概念
• 教学活动：
  • 讲座：线性表示的概念与例子
  • 小组活动：构建简单的群表示
  • 课堂练习：理解表示的性质

评估方法：

• 作业：每周至少一篇关于课堂内容的作业，涵盖理论和实践部分
• 小测验：每两周一次，检测知识掌握情况
• 项目：期末项目，要求学生独立或小组完成，应用群论解决实际问题或设计一个群
• 参与度：课堂讨论、小组活动和报告的参与程度

注意： 课程大纲会根据学生反馈进行调整，确保内容的适切性和吸引力。