形式科学：数学 - 数学基础 - 证明论课程大纲

第一章：引言与逻辑基础

1.1 周主题：数学证明的基本概念

• 学习目标：
  • 理解证明的本质和目的
  • 掌握基本逻辑符号和关系
• 阅读资源：
  • "How to Read and Do Proofs" by Daniel Velleman
• 教学方法：
  • 讲座：介绍证明的基本结构和逻辑原则
  • 小组讨论：解析简单的逻辑练习

1.2 周主题：命题逻辑

• 学习目标：
  • 熟悉命题、变量、量词和推理规则
• 资源：
  • "Logic for Computer Science" by E. M. Clarke
• 活动：
  • 逻辑游戏：应用命题逻辑解决实际问题

第二章：集合论基础

2.1 周主题：集合的概念与表示

• 学习目标：
  • 理解集合的定义和性质
  • 掌握集合的运算
• 资源：
  • "Set Theory and Logic" by Ioanna Tourlakis
• 活动：
  • 制作集合图示：用Venn图表示集合关系

2.2 周主题：序数和基数

• 学习目标：
  • 区分序数与基数
  • 应用在证明中的应用
• 资源：
  • "A Course in Set Theory" by Jech & Hrbacek
• 活动：
  • 练习使用序数比较大小

第三章：命题证明技巧

3.1 周主题：直接证明与间接证明

• 学习目标：
  • 学会构造直接证明和反证法
• 资源：
  • "Proofs from THE BOOK" (problem sets)
• 活动：
  • 分组编写证明：选择典型的定理进行证明实践

3.2 周主题：归纳法与数学归纳法

• 学习目标：
  • 理解归纳法原理及其应用
• 资源：
  • "The Art of Proof" by Daniel Solow
• 活动：
  • 归纳法挑战：解决一些需要归纳的数学问题

第四章：元数学与证明技巧

4.1 周主题：演绎推理与归谬法

• 学习目标：
  • 掌握演绎推理和归谬法
• 资源：
  • "Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics" by Chartrand et al.
• 活动：
  • 演绎推理游戏：设计和解释推理过程

4.2 周主题：构造性证明与反例

• 学习目标：
  • 理解构造性证明和反例的重要性
• 资源：
  • "Constructive Mathematics" by Peter Schuster
• 活动：
  • 构造性证明作业：设计一个构造性证明

课程评估：

• 作业：每周的课堂练习题和证明作业
• 小测验：每章结束后的小型知识测试
• 项目：设计并提交一个关于证明论的实际问题解决方案
• 期末论文：撰写一篇关于证明技巧或数学哲学的研究报告

通过这个课程，学生将建立起坚实的证明论基础，能够独立进行数学论证，并培养批判性思维和逻辑分析能力。